设函数 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上连续，且 $ f(1)=0 $，$ f\left(\frac{1}{2}\right)=1 $，证明：存在 $ \eta \in \left(\frac{1}{2}, 1\right) $，使得 $ f(\eta)=\eta $。

设函数 $ f(x) $ 在区间 $ [0,1] $ 上连续，且 $ f(1)\gt 0 $，$ \lim_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)}{x}\lt 0 $。证明：方程 $ f(x)=0 $ 在区间 $ (0,1) $ 内至少存在一个实根。

(导数零点定理) 设 $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上可导，证明当 $ f_{+}^{\prime}(a) \cdot f_{-}^{\prime}(b) \lt 0 $ 时，存在 $ \xi \in (a, b) $，使得 $ f^{\prime}(\xi)=0 $。

设 $ f(x) $ 在 $ [0, 3] $ 上连续，在 $ (0, 3) $ 内可导，且 $ f(0) + f(1) + f(2) = 3 $，$ f(3) = 1 $。证明：必存在 $ \xi \in (0, 3) $，使得 $ f'(\xi) = 0 $。

设 $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上连续，在 $ (a, b) $ 内可导，$ f(a) = 0, a \gt 0 $，证明：存在 $ \xi \in (a, b) $，使得 $ f(\xi) = \frac{b - \xi}{a} f'(\xi) $。

设函数 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上连续，在 $ (0,1) $ 内二阶可导，过点 $ A(0,f(0)) $ 与点 $ B(1,f(1)) $ 的直线与曲线 $ y = f(x) $ 相交于点 $ C(c,f(c)) $，其中 $ 0 \lt c \lt 1 $，证明：存在 $ \xi \in (0,1) $，使得 $ f''(\xi) = 0 $。

设函数 $ f(x) $ 在区间 $ [0,1] $ 上具有二阶导数，且 $ f(1) \gt 0 $，$ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} \lt 0 $。证明：方程 $ f(x) f''(x) + [f'(x)]^2 = 0 $ 在区间 $ (0,1) $ 内至少存在两个不同实根。

若 $ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 内可导且 $ f'(x) $ 有界，证明：$ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 内有界。

设 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上连续，在 $ (0,1) $ 内可导，$ f(0)=0 $，且 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上不恒等于零。证明：存在 $ \xi \in (0,1) $，使得 $ f(\xi)f'(\xi)\gt 0 $。

设函数 $ f(x) $ 满足 $ f(0)=0 $，且当 $ x\gt 0 $ 时，$ f(x)\lt 0 $，$ f'(x)\lt 0 $，$ f''(x)\gt 0 $，则当 $ 0\lt a\lt x\lt b $ 时，有（  ）。
(A) $ xf(x) \gt af(a) $    (B) $ bf(b) \gt xf(x) $    (C) $ xf(a) \gt af(x) $    (D) $ xf(b) \gt bf(x) $

设 $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上连续，在 $ (a, b) $ 内可导，$ 0 \lt a \lt b $，证明：至少存在一点 $ \xi \in (a, b) $，使得 $ f(b) - f(a) = \xi \ln \frac{b}{a} f'(\xi) $。

设函数 $ f(x) $在 $ [0,1] $上二阶可导，且 $ \int_{0}^{1}f(x)dx=0 $，则（  ）。
(A) 当 $ f'(x) \lt 0 $ 时，$ f\left(\frac{1}{2}\right) \lt 0 $
(B) 当 $ f''(x) \lt 0 $ 时，$ f\left(\frac{1}{2}\right) \lt 0 $
(C) 当 $ f'(x) \gt 0 $ 时，$ f\left(\frac{1}{2}\right) \lt 0 $
(D) 当 $ f''(x) \gt 0 $ 时，$ f\left(\frac{1}{2}\right) \lt 0 $

设函数 $ f(x) $在区间 $ [-1,1] $上具有三阶连续导数，且 $ f(-1)=0 $，$ f(1)=1 $，$ f'(0)=0 $，证明：在区间 $ (-1,1) $内至少存在一点 $ \xi $，使 $ f''(\xi)=3 $。

在区间 $ (-\infty, +\infty) $ 内，方程 $ \left|x\right|^{\frac{1}{4}} + \left|x\right|^{\frac{1}{2}} - \cos x = 0 $（  ）。
(A) 无实根    (B) 有且仅有一个实根    (C) 有且仅有两个实根    (D) 有无穷多个实根

若 $ 3a^{2}-5b\lt 0 $，则方程 $ x^{5}+2ax^{3}+3bx+4c=0 $（  ）。
(A) 无实根    (B) 有唯一实根    (C) 有三个不同实根    (D) 有五个不同实根

证明 $ 2^{x}-x^{2}-1=0 $ 有且仅有三个根。

已知方程 $ e^{x} = kx $ 有且仅有一个实根，则 $ k $ 的取值范围是 ______。

已知方程 $ x^{n} + nx - 1 = 0 $，其中 $ n $ 为正整数。证明此方程存在唯一正实根 $ x_{n} $。

证明当 $ 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2} $ 时，有 $ \sin x \gt \frac{2x}{\pi} $。

证明：$ \left(\ln\frac{1+x}{x}-\frac{1}{1+x}\right)^{2} \lt \frac{1}{x\left(1+x\right)^{2}} (x\gt 0) $。

设 $ 0\lt a\lt b $，证明不等式 $ \frac{2a}{a^{2}+b^{2}} \lt \frac{\ln b-\ln a}{b-a} \lt \frac{1}{\sqrt{ab}} $。

设常数 $ k \gt 0 $，函数 $ f(x) = \ln x - \frac{x}{e} + k $ 在 $ (0, +\infty) $ 内的零点个数为（  ）。
(A) 3    (B) 2    (C) 1    (D) 0

若函数 $ f(x)=\frac{1}{x e^{-x}-a} $ 在 $ (-\infty,+\infty) $ 内处处连续，则常数 $ a $ 的取值范围为（  ）。
(A) $ a \lt 0 $    (B) $ a \gt e^{-1} $    (C) $ a \lt e^{-1} $    (D) $ 0 \lt a \lt e^{-1} $

设实数 $ a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} $ 满足 $ a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{3} + \cdots + \frac{a_{n}}{n+1} = 0 $。证明：方程 $$ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}=0 $$ 在 $ (0,1) $ 内至少有一个根。

设函数 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上连续，在 $ (a,b) $ 内可导，且 $ f(a)=f(b)=0 $，证明：
(1) 存在 $ \xi \in (a, b) $，使 $ f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0 $;
(2) 存在 $ \eta \in (a, b) $，使 $ \eta f(\eta) + f'(\eta) = 0 $。

设 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上连续，在 $ (0,1) $ 内可导，证明：至少存在一点 $ \xi \in (0,1) $，使得 $ f(1) = 3\xi^2 f(\xi) + \xi^3 f'(\xi) $。

已知 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上连续，在 $ (0,1) $ 内可导，且 $ f(0)=0, f(1)=1 $。证明：
(1) 存在 $ \xi \in (0, 1) $，使得 $ f(\xi) = 1 - \xi $;
(2) 存在 $ \eta, \tau \in (0, 1) $， $ \eta \neq \tau $，使得 $ f'(\eta) f'(\tau) = 1 $。

设函数 $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上连续 $ (0 \lt a \lt b) $，在 $ (a, b) $ 内可导，且 $ f(a) \neq f(b) $。证明：存在 $ \xi, \eta \in (a, b) $，使得 $ \frac{f'(\xi)}{2\xi} = \frac{f'(\eta)}{b + a} $。

设 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上具有二阶导数，且满足条件 $ \left|f(x)\right| \leqslant a, \left|f''(x)\right| \leqslant b $，其中 $ a, b $ 都是非负常数，$ c $ 是 $ (0,1) $ 内任意一点。
(1) 写出 $ f(x) $ 在点 $ x = c $ 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；
(2) 证明 $ \left|f'(x)\right| \leqslant 2a + \frac{b}{2} $。

证明 $ 0 \lt x \lt \frac{\pi}{4} $ 时，有 $ \tan x \lt \frac{4}{\pi}x $。

设 $ p, q $ 是大于 1 的常数，并且 $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $。证明：对于任意的 $ x \gt 0 $，有 $ \frac{1}{p}x^{p} + \frac{1}{q} \geq x $。